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一壶烧开的水从多高倒进嘴里不会觉得烫?

图片:kavekostolo / CC0

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ag游戏平台 www.jtnhbvpj.cn 先说结论:大约50米左右。

水从高空落下,先倒的水快,后倒的水慢,所以必然很快撕裂,成为细小的水滴。

因此,这里就只讨论水滴的散热问题,而不考虑一大团水的散热。因为这种情况更为常见,计算也更为简单。

本着物理学「真空中球形鸡」的思维方式,这里考虑球形小水滴。由于水滴在高速下落,所以其周围空气的温度,其实可以视为不受水滴影响。这种近似有其物理根据——在低温物理中,人们常常用低温流体为物体降温、保持温度,可以使物体温度的浮动降到很低。

又为了更进一步的简化,这里将水滴视为两层——内层和外层:

内层的半径为 r_c ,而外层的半径为 r_0 。由于内层很小,所以假设温度均匀。而外层之中的传热,则视作近稳恒传热,符合能量输入、输出相等的原则。

这个假设当然不严格符合实际,但可以保持数学上的简洁。最终的结果,也不会与真实数值相差甚远。

所以,这里外层的温度符合这样的形式:

\frac{T_a \left(-\log \left(r_c\right)\right)+\log (r) \left(T_a-T_c\right)+T_c \log \left(r_0\right)}{\log \left(r_0\right)-\log \left(r_c\right)}

其图像是这样的:

真实的温度分布当然不是这样,这里做了近似。但偏差不会很大。后面我们会看到,内层的大小,对于结果影响不大。

通过上式,容易求的内层散热的速率:

\frac{\text d Q}{\text dt}=\frac{4 \pi  k r_c \left(T_a-T_c\right)}{\log \left(r_0\right)-\log \left(r_c\right)}

据此,可以得到内层温度随时间变化的函数:

T(t)=\left(T_b-T_a\right) \exp \left(-\frac{3 k t}{c \rho  r_c^2 \log \left(r_0\right)-c \rho  r_c^2 \log \left(r_c\right)}\right)+T_a

其中, T_b 即开水温度,为100摄氏度, T_a 为空气温度,这里设定为20摄氏度。c是水的比热,k是水的热导率, \rho 是水的密度。

如此,即可绘制水滴核心温度随时间变化的图像:

可以看到,如果水滴半径为3mm,那么,不过五六秒,水滴的核心温度就已经可以入口了。到了十秒,温度就接近空气了。而且,不论选取核心半径是多少,其曲线的差别都不太大。这里可以认为,安全时间大约是5秒。

水滴下落时,由于空气阻力的影响,其最终速度,大约在9~13m/s之间。这里为了简单,取10m/s。而雨滴要加速到这一速度,只要1秒。

取安全时间来计算水滴的高度,得到的高度是50米。也就是说,大约五十米的高度,就足以让开水冷却到安全的温度了。

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